คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาตอนปลาย ชุดที่ 2 (ฉบับ A): การทดลองสุ่มและการแสดงออกด้วยเซตของพื้นที่ตัวอย่าง

การทดลองสุ่ม (Random Trial)เราเรียกการกระทำและสังเกตปรากฏการณ์แบบสุ่มว่าเป็นการทดลองสุ่ม หรือเรียกสั้นๆ ว่าการทดลอง โดยใช้อักษร $E$ เป็นตัวแทน มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละข้อ เรียกว่าจุดตัวอย่าง (Sample Point)และเซตของจุดตัวอย่างทั้งหมดเรียกว่าพื้นที่ตัวอย่าง (Sample Space)โดยทั่วไปใช้ $\Omega$ เป็นตัวแทน

คำอธิบายแนวคิดหลัก

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เราใช้ภาษาเซตในการอธิบายปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ หากการทดลองใดๆ มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงจำนวนจำกัด เราเรียกสิ่งนี้ว่าพื้นที่ตัวอย่างจำกัดเช่น:

การโยนเหรียญ: $\Omega = \{h, t\}$
การโยนเหรียญสองเหรียญ: $\Omega = \{(\text{หัว, หัว}), (\text{หัว, ก้อย}), (\text{ก้อย, หัว}), (\text{ก้อย, ก้อย})\}$

นอกจากนี้ การอนุมานทางสถิติมีความสำคัญอย่างยิ่งในชีวิตจริง เช่นดัชนีมวลกาย (BMI) การศึกษา สำหรับผู้ใหญ่ชาวจีน ค่ามาตรฐานคือ: $BMI < 18.5$ ถือว่าผอม; $18.5 \le BMI < 24$ ถือว่าปกติ; $24 \le BMI < 28$ ถือว่าอ้วนเกิน; $BMI \ge 28$ ถือว่าอ้วนมาก

ตัวอย่างมีลักษณะสุ่ม ดังนั้นเมื่อใช้ตัวอย่างในการประมาณประชากร จะได้ผลการอนุมานทางสถิติที่มีความเป็นไปได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่ควรระวังเมื่อนำผลลัพธ์ทางสถิติมาอธิบายปัญหาจริง

$$BMI=\frac{\text{น้ำหนัก (กก.)}}{\text{ส่วนสูง}^2 (\text{ม}^2)}$$

คำถามที่ 1

เมื่อทอยลูกเต๋าที่สมมาตร จำนวนจุดตัวอย่างในพื้นที่ตัวอย่าง $\Omega$ คือเท่าไร?

คำถามที่ 2

ข้อความใดต่อไปนี้เกี่ยวกับการทดลองสุ่มถูกต้อง?

ผลลัพธ์ของการทดลองสามารถระบุได้ล่วงหน้า

เซตของจุดตัวอย่างทั้งหมดเรียกว่าพื้นที่ตัวอย่าง

จุดตัวอย่างคือเหตุการณ์สุ่ม

การโยนเหรียญหนึ่งเหรียญสองครั้ง มีจุดตัวอย่างรวม 2 จุด

คำถามที่ 3

จงเขียนพื้นที่ตัวอย่างของการทดลองสุ่ม 'บันทึกเพศของนักเรียนคนหนึ่ง'

$\Omega = \{\text{ชาย}, \text{หญิง}\}$

$\Omega = \{\text{นักเรียน}\}$

$\Omega = \{\text{ชาย}\}$

$\Omega = \{1, 0\}$

คำถามที่ 4

ในครอบครัวที่มีลูกสองคน ให้สังเกตเพศของลูกทั้งสองคน พื้นที่ตัวอย่าง $\Omega$ คืออะไร?

{(ชาย, ชาย), (หญิง, หญิง)}

{(ชาย, ชาย), (ชาย, หญิง), (หญิง, ชาย), (หญิง, หญิง)}

{2 ชาย, 1 ชาย 1 หญิง, 2 หญิง}

{(ชาย, หญิง)}

คำถามที่ 5

บุคคลหนึ่งยิงเป้าหมาย 3 ครั้ง แล้วสังเกตจำนวนครั้งที่โดนเป้า พื้นที่ตัวอย่างของการทดลองนี้คืออะไร?

{โดนเป้า, ไม่โดนเป้า}

{0, 1, 2, 3}

{1, 2, 3}

{0, 3}

คำถามที่ 6

เมื่อออกรางวัลลอตเตอรี หยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากลูกบอล 10 ลูกที่มีเลข 0-9 อยู่ จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีทั้งหมดกี่แบบ?

อนันต์หลายแบบ

คำถามที่ 7

สำหรับวงจรขนาน (องค์ประกอบ A, B ขนานกัน) เหตุการณ์ N = 'วงจรขาด' ประกอบด้วยจุดตัวอย่างใด? (1 แทนการทำงานปกติ, 0 แทนเสียหาย)

{(1, 1)}

{(1, 0), (0, 1)}

{(0, 0)}

{(1, 1), (1, 0), (0, 1)}

คำถามที่ 8

ข้อความใดต่อไปนี้เกี่ยวกับดัชนีมวลกาย (BMI) ผิด?

BMI คือ ย่อมาจาก ดัชนีมวลกาย

BMI = น้ำหนัก / ส่วนสูง

BMI ≥ 28 ถือว่าอ้วน

18.5 ≤ BMI < 24 ถือว่าปกติ

คำถามที่ 9

การโยนเหรียญสองเหรียญ โอกาสที่จะได้ 'หัวก้อย' คือเท่าไร?

0.25

0.5

0.75

คำถามที่ 10

หากค่ามัธยฐานของชุดข้อมูลหนึ่งต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมาก แสดงว่าข้อมูลอาจมี?

ค่าเล็กผิดปกติ

ค่าใหญ่ผิดปกติ

ค่ากลาง

การแจกแจงความถี่สม่ำเสมอ

กรณีศึกษาเชิงรวมและการท้าทายด้านตรรกะ

งานที่ 1

[งานเขียน] รายงานการวิเคราะห์สถิติดัชนีมวลกายของพนักงาน

จากข้อมูลดัชนีมวลกายของพนักงานชาย 90 คน และพนักงานหญิง 50 คน (ชาย: 23.5, 21.6, 30.6... หญิง: 21.8, 18.2, 25.2...) จงเขียนรายงานสถิติ ข้อกำหนดจำนวนคำ: ไม่น้อยกว่า 200 คำ

ตัวอย่างคำตอบ:
1. การแสดงข้อมูลแนะนำให้ใช้แผนภูมิฮิสโทแกรมความถี่เพื่อแสดงการกระจายของดัชนีมวลกายของพนักงานชายและหญิงแยกกัน หรือใช้แผนภูมิกล่องเพื่อเปรียบเทียบ จากข้อมูล ค่าเฉลี่ยดัชนีมวลกายของพนักงานชายประมาณ 24.2 พนักงานหญิงประมาณ 22.5
2. การเปรียบเทียบความแตกต่างพนักงานชายที่อ้วนเกิน (BMI ≥ 24) มีสัดส่วนสูงกว่าพนักงานหญิงอย่างชัดเจน และภาวะอ้วน (BMI ≥ 28) มักพบในกลุ่มพนักงานชาย; พนักงานหญิงส่วนใหญ่อยู่ในช่วงปกติ แต่บางส่วนมีน้ำหนักต่ำเกิน
3. การวิเคราะห์โดยรวมสภาพสุขภาพโดยรวมของพนักงานบริษัทนั้นยังดี แต่กลุ่มผู้ชายมีความเสี่ยงต่อภาวะน้ำหนักเกินสูง อาจเกี่ยวข้องกับการนั่งทำงานนานๆ หรือขาดการออกกำลังกาย
4. ข้อเสนอแนะบริษัทควรเพิ่มกิจกรรมยืดเหยียดในช่วงพักช่วงดื่มชา จัดให้แสดงพลังงานของอาหารในโรงอาหาร และจัดกิจกรรมแบดมินตันหรือการวิ่งเป็นประจำ เพื่อส่งเสริมให้พนักงานชายควบคุมน้ำหนัก

งานที่ 2

การทบทวนพื้นฐานสถิติ

ขออธิบายสั้นๆ: (1) แผนภูมิฮิสโทแกรมความถี่สามารถให้ข้อมูลอะไรได้บ้าง? (2) ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และค่ากลางมีลักษณะอย่างไร? (3) ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานบอกอะไร?

คำตอบตัวอย่าง:
(1) แผนภูมิฮิสโทแกรมสามารถมองเห็นแนวโน้มการรวมตัวของข้อมูล ช่วงการเปลี่ยนแปลง และรูปแบบการแจกแจง (เช่น สมมาตรหรือไม่)
(2) แนวโน้มการรวมตัวค่าเฉลี่ยสะท้อนระดับเฉลี่ย ได้รับผลกระทบจากค่าที่ผิดปกติมาก; ค่ามัธยฐานคือค่าที่อยู่ตรงกลาง ต้านทานการรบกวนได้ดี; ค่ากลางสะท้อนค่าที่เกิดบ่อยที่สุด
(3) ระดับการกระจายความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสะท้อนขนาดของการเปลี่ยนแปลงของข้อมูล ค่าที่มากขึ้น หมายถึงข้อมูลเบี่ยงเบนจากศูนย์กลางมากขึ้น และมีความไม่แน่นอนสูงขึ้น

งานที่ 3

เกมโยนเหรียญสองเหรียญนี้เป็นธรรมหรือไม่?

กฎของเกม: ถ้าเหรียญสองเหรียญออกมาเป็นหัวพร้อมกัน หรือก้อยพร้อมกัน ฝ่าย ก ชนะ; ถ้าหัวก้อย ฝ่าย ข ชนะ จงตัดสินและอธิบายเหตุผล

คำอธิบาย:
เกมนี้เป็นธรรม
พื้นที่ตัวอย่าง $\Omega = \{(หัว, หัว), (หัว, ก้อย), (ก้อย, หัว), (ก้อย, ก้อย)\}$ มีจุดตัวอย่างทั้งหมด 4 จุด
เหตุการณ์ที่ ก ชนะ $A = \{(หัว, หัว), (ก้อย, ก้อย)\}$ มีจุดตัวอย่าง 2 จุด ความน่าจะเป็น $P(A) = 2/4 = 0.5$
乙胜的事件 $B = \{(h, t), (t, h)\}$，包含 2 个样本点，概率 $P(B) = 2/4 = 0.5$。
เนื่องจาก $P(A) = P(B)$ ดังนั้นเกมนี้เป็นธรรม

งานที่ 4

การอภิปรายเกี่ยวกับความถี่และความน่าจะเป็น

“ใช้ความถี่ที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น $f_n(A)$ มาประมาณความน่าจะเป็น $P(A)$ ยิ่งทำการทดลองซ้ำกันจำนวนมาก $n$ ความแม่นยำในการประมาณจะยิ่งดีขึ้น” ข้อความนี้ถูกต้องหรือไม่? กรุณาอธิบายด้วยตัวอย่าง

คำอธิบาย:
ข้อความนี้ถูกต้อง เมื่อจำนวนการทดลอง $n$ เพิ่มขึ้น ความถี่ที่เหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้น $f_n(A)$ จะแสดงความคงที่ คือค่อยๆ เข้าใกล้ความน่าจะเป็น $P(A)$
ตัวอย่างเช่น การทอยเหรียญที่สมมาตร ทอย 10 ครั้ง อาจได้หัว 7 ครั้ง (ความถี่ 0.7); ทอย 1,000 ครั้ง จำนวนครั้งที่ได้หัวมักจะอยู่ที่ประมาณ 500 (ความถี่ใกล้ 0.5); ทอย 100,000 ครั้ง ความถี่จะมีเสถียรภาพมากที่ 0.5 ใกล้เคียง ซึ่งถือเป็นการตีความที่ชัดเจนของกฎของจำนวนมาก

จุดสำคัญหลัก

การทดลองสุ่ม E มาเป็นตัวนำ,พื้นที่ตัวอย่าง $\Omega$ รวมดาวไว้ด้วยกันแต่ละผลลัพธ์ $\omega$ จุด,ภาษาเซต บรรยายความจริง

💡 วิธีการระบุทุกจุดตัวอย่างในพื้นที่ตัวอย่าง

เมื่อเขียนพื้นที่ตัวอย่าง ควรเรียงตามลำดับที่กำหนด (เช่น แบบอักษรหรือแผนภูมิเป็นต้นไม้) เพื่อป้องกันการลืมหรือซ้ำกัน

💡 การตรวจสอบความน่าจะเป็นเท่ากัน

ในรูปแบบคลาสสิก ความน่าจะเป็นที่จุดตัวอย่างแต่ละจุดจะเกิดขึ้นต้องเท่ากัน หากเหรียญไม่สมมาตร พื้นที่ตัวอย่างยังคงเป็น {หัว, ก้อย} แต่ไม่ใช่ความน่าจะเป็นเท่ากันอีกต่อไป

💡 ความเป็นไปได้ของการอนุมานทางสถิติ

การใช้ตัวอย่างมาประมาณประชากรมีความเสี่ยง แม้ตัวอย่างจะบ่งชี้อัตราโรคอ้วน 20% แต่ค่าจริงของประชากรอาจเบี่ยงเบนเล็กน้อย นี่คือความเป็นไปได้ของการอนุมานทางสถิติ

💡 ความหมายของดัชนีมวลกาย

ดัชนีมวลกายเป็นตัวชี้วัดที่ใช้ง่ายในการประเมินโภชนาการและสุขภาพของกลุ่ม แต่สำหรับนักกีฬาที่มีกล้ามเนื้อแข็งแรง ค่าอาจสูงเกินจริง จึงควรวิเคราะห์ร่วมกับอัตราไขมันในร่างกาย

💡 ความถี่ เปรียบเทียบกับ ความน่าจะเป็น

ความถี่เป็นสิ่งสุ่มและสังเกตได้ ความน่าจะเป็นเป็นสิ่งแน่นอนและทฤษฎี ความถี่ในงานทดลองซ้ำๆ จำนวนมากจะเข้าใกล้ความน่าจะเป็น